고등학생들의 무한 개념 이해에 관한 연구

Abstract

본 연구에서는 고등학교 수학교육과정에서 무한 개념의 내용으로 어떠한 것이 포함되어 있는가를 분석하고, 선경험으로 습득된 무한 개념에 대한 학생들의 직관적 사고가 수학적 무한관에 얼마나 접근하고 있는가를 알아보고자 하였다. 본 연구 문제를 해결하기 위하여 고등학교 수학 교과서중 10-가,나(임재훈외7인, 두산), 수학I(박규홍 외5인, 교학사), 수학Ⅱ(박규홍 외5인, 교학사) 미분과 적분(최용준, 신현성 천재교육)에서 나타나는 무한 개념의 내용을 분석하였다. 무한 개념에 관한 고등학생들의 직관적 사고 수준을 알아보기 위해서, 본 연구자는 김현정(1990)과 윤원희(2005)의 논문에 게재된 설문조사내용을 토대로 분석 연구한 결과는 다음과 같다. 고등학교 교육 과정에서 무한 개념이 내포된 주요한 내용은 1)집합론에서 원소나열법에 의한 무한집합의 표현은 가무한적인 입장이지만, 조건제시법은 실무한적인 입장에서 다루어지고 있다. 2)수(數)를 실수로 확장해나감으로써 수를 실직선 위에 나타내는 내용과 유리수와 무리수의 소수 표현으로 소수가 확장될 때이다. 무한 소수와 무리수는 실직선 위에 대응하는 점이 있음을 생각할 때 실무한적인 관점에서 실제로 존재하는 수로 제시되고 있다. 3)극한 단원에서는 가무한 기호인 무한대(∞)와 무한소(0)가 도입됨으로써 ∞와 0의 의미를 수의 의미가 담겨 있지 않은 한없이 커지거나 작아진다는 뜻으로 절대적인 가무한적인 입장이다. 4)미·적분 단원에서는 Δx를 포함한 계산을 다루게 됨으로써 무한가분성이 아닌 어떤 존재하는 실무한적 입장이 내포되어 있다. 5)무한 개념에 관한 표현의 다양함과 새로운 용어, 기호 등이 수학 교과 과정 전반에 걸쳐 진술되어 있음을 알 수 있다. 이러한 고등학교 수학 교과 내용에 나오는 무한 개념은 역사적 발달에서 그러하였듯이 가무한적 입장에서 실무한적 입장을 취하고 있다. 이들 무한 개념은 또한 극한 개념과 집합론적인 개념으로 결부되어 설명되어지고 있음을 주목해야 할 것이다. 무한 개념에 관한 학생들의 직관적 사고가 어떠한가를 알아본 김현정(1990)의 조사 결과에서는 1)무한 가분성에 관하여 학생들은 직관적으로는 불가능하나 이론적으로는 가능하다는 일관된 사고 양식을 가지고 있으며, 유한적인 사고보다는 무한적 사고를 하고 있음을 알 수 있다. 특히 1차원, 2차원에 구분 없이 원래도형을 그대로 유지하기 보다는 점이 된다는 사고에는 별 차이가 없게 나타났다. 이는 학교 수학에서󰡐～을 무한히 나누었을 때’와 같은 언어적 표현을 최후로는 차원에 관계없이 크기도 부피도 없는 점이 된다는 것으로 인식하고 있는 듯하다. 2) 초한수 개념에서 무한 집합의 원소를 비교하는 문제에 대해 학생들은 차원이 다를 경우 공간적으로 비교하였으며, 일대일대응 관계로 시간적인 관점에서 파악하고 있지 못함을 알 수 있었다. 이는 학교 수학에서 실직선 위에 모든 점을 일대일 대응 시킬 수 있다고 배웠음에도 불구하고 많은 학생들이 유한적인 사고를 무한에 적용하는데서 발생하는 인지적 장애의 한 유형이라고 판단된다. 3) 무한소 개념에 관하여 전반적으로 많은 학생들이 학교 수업의 영향을 적게 받은 것으로 나타났다. 이는 극한 개념의 역사에서 나타난 무한히 작다는 것의 인식론적 장애와 현대 수학의 동적인 개념으로써 x→0을 사용하는데서 야기되는 발생론적 장애 역시 극복하지 못하고 있는 것으로 판단된다. 4) 연속체의 성질에 관하여는 일관된 사고를 하고 있지 못하며, 이는 극한 개념의 형이상학적 양상에 많은 학생들이 혼란을 겪고 있음을 알 수 있었다. 5) 실무한과 가무한에 관한 개념으로써 학생들이 극한 개념의 인식론적 장애에서 기하학적인 것을 수로 연결하는 어려움을 극복하고 무한 집합을 생성적인 가무한적 입장에서 취급하고 있으나, 시각화 하였을 때는 실무한적인 사고 양식을 따르고 있는 것으로 분석된다. 6) 보존원리와 관련하여 무한 개념의 인식론적 장애, 특히 극한은 도달할 수 있는가, 없는가에 혼란을 느끼고 있으며, 보상효과에 의한 직관적 사고를 하고 있는 학생도 상당수에 이르고 있음을 알았다. 7) 무한적인 사고에 대하여는 많은 학생들이 학습의 영향을 절대적으로 받고 있으나 직선 문제보다는 원 문제에서 학생들은 무한적인 사고가 약화되고 있음을 알 수 있었다. 8) 수에 관한 무한적인 사고에 관해 즉, 순환 소수와 비순환 소수가 유한 길이를 나타내는 수로 생각하는가에 대하여 학생들은 무한적인 사고를 유한적인 사고로 변환할 수 있는 능력이 부족하였다. 특히, 학교 수학에서는 0,333‥‥‥을 0.3 ...= ⅓과 같이 수에 관한 무한적인 사고를 가무한적 입장에서 존재하는 실무한적인수로 취급하고 있지만, 학생들은 무한 순환 소수가 순환마디에 비해 극한값으로 유한적인 수가 될 수 없다는 인식론적 장애가 작용하고 있음을 알았다.