절댓값 기호가 있는 식과 그래프의 수학적 모델링 사례 연구

Abstract

수학은 교과과정으로 다루어지는 것 외에도 과학, 경제, 경영, 지리, 생명과학 등 다양한 분야에서 우리생활과 밀접한 관련을 맺고 있다. ICMI(2003)의 보고서에 따르면 OECD가 주관한 1999년 학업성취도 국제 비교 평가(PISA)에서의 ‘수학적 성향’이란 학생들이 현실세계를 수학적으로 이해하고 판단하는 능력을 시험하는 것으로 수학적 지식과 현실세계의 연결성을 강조하고 있다. 우리나라 제7차 개정 교육과정은 수학적 능력 신장을 강조하고 있다. 1990년대 이후로 학교 수학 교육에서 강조하는 세계적인 흐름의 하나가 수학적 추론 능력, 의사소통 능력, 문제해결력과 같은 수학적 능력의 신장을 강조하는 것이다. 특히 과학기술을 기반으로 하고 있는 현대 사회에서는 학문이나 직업의 세계에서 뿐만 아니라 일상생활에서도 다양한 과학 기술 정보를 자유롭게 의사소통하는 능력이 필요하며, 수학은 이러한 과학 기술 정보를 소통하는 데 기초적이고 필수적인 수단임을 제시하고 있다. 이에 따라 제7차 개정 교육과정의 교수‧학습목표는 학생이 구체적인 경험에 근거하여 여러 가지 현상을 수학적으로 해석하고 조직하는 활동을 할 수 있도록 하는 것이 제시되어있다(교육과학기술부, 2008). 이와 같이 현대사회에서 요구되는 수학교육은 일생생활과 수학의 연결성으로 이를 위해서 학생들은 성공적인 문제해결 경험으로 수학적 개념, 원리, 법칙을 정확히 이해하고 논리적으로 사고하는 활동을 하여야 한다. 절댓값은 주변 환경을 수학적인 눈으로 바라본다면 가장 먼저 찾을 수 있는 수학 내용 중의 하나이며, 우리가 인식하지 못하고 지나치고 있을 뿐이다. 절댓값은 학교수학에서 좌표평면상에서 거리를 구하고 실수의 대소 관계를 설명할 때 이용한다(장효정, 2010). 교과서에서 제시된 절댓값은 중학교 1학년 과정에서 정수와 유리수 단원에서 대소 관계와 사칙연산을 정리하기 위해 도입된 개념으로 수직선 위에서 ‘어떤 점과 원점 사이의 거리’라는 기하학적 의미로 소개된다. 고등학교 1학년 과정 중 실수와 복소수 단원에서는 중학교 과정보다 심화된 내용으로 절댓값의 성질을 이용하여 절댓값을 포함한 문자식의 계산에 대수적으로 사용되며, 도형의 방정식 단원에서는 다시 두 점사이의 거리라는 기학적 의미로 제시한다. 절댓값은 함수 단원과 결합하여 도형의 대칭이동, 부등식의 영역, 다항 함수의 그래프 및 삼각함수의 그래프 등 여러 단원에서 문제해결 및 보다 심화된 학습내용의 문제를 해결하게 되는 수단이 된다(서희진, 2009).절댓값 기호가 있는 식의 그래프에 대한 오류분석을 연구한 서희진(2009)은 학생들이 그래프를 그릴 때 원리를 생각하지 않은 채 기계적으로 그리려고 하며 함수의 그래프에 대한 기본적인 이해의 부족에 그 원인이 있다고 말한다. 따라서 교사들이 이 부분을 지도함에 있어서 학생들에게 그 원리와 방법을 충분히 이해시킨 후 절댓값 기호가 있는 식의 그래프의 전반적인 특성을 개관할 수 있게 하고 이를 숙달 시킬 수 있도록 지도해야 할 것을 제언하고 있다. 이처럼 절댓값 기호가 있는 식의 그래프는 절댓값의 대한 기하학적 선행지식을 요구하고 있으며 절댓값 기호가 있는 식과 그래프에 질적 접근을 위해 사용할 수 있는 교수‧학습법에 대한 관심이 필요하다. 이에 본 연구에서는 연구대상을 선정하여 질적 연구를 하여 수학적 모델링을 절댓값 기호가 있는 식과 그래프에 적용해 보고 이것이 학생에게 미치는 영향에 대하여 살펴보고자 한다. 그렇다면 왜 수학적 모델링인가? 수학적 모델링은 실생활 문제 속에서 필요한 조건을 추출하여 간단한 현실모델을 개발하고, 그것을 다시 수학적 요소로 바꾸어 수학적 모델을 개발한다. 그런 다음, 얻어진 수학적 모델에서 해를 도출하고 그것을 다시 실생활에서 적용하는 순환과정을 뜻한다. 수학적 모델링은 실생활 문제 속에서 형식이나 관계를 발견하고 수학적으로 조직하고 해석하는 활동을 하는 것 뿐 만 아니라 수학적 모델링 과정을 거치면서 학생 스스로 수학적 개념, 원리, 법칙 등을 깨닫고 이해할 수 있게 된다. 또한 문제해결전략을 계획하고 실행하며 반성을 통하여 풀이과정을 점검하고 다양하게 활용하는 태도를 기를 수 있다.따라서, 수학적 모델링은 실생활 문제를 수학적으로 해결하는 것을 원하는 현시대의 요구에 적합한 방법이라 할 수 있다. 이에 본 연구자는 절댓값 기호가 있는 식과 그래프에 대한 개념, 원리, 법칙을 이해하고 적용하기 위하여 NCTM(1991)에 수록된 자료를 우리나라 현실에 맞도록 각색하여 수학적 모델링 수업에 사용하였으며, 질적 연구를 위해 두 명의 학생을 대상으로 수학적 모델링 수업을 진행하면서 실생활 문제를 통하여 절댓값 기호가 있는 식과 그래프의 개념 발생을 고찰하는 것과 수학적 모델링 수업의 각 단계는 학생들의 개념 발생에 효과적으로 작용할 수 있는가를 모색하는데 그 목적이 있다.