수학화과정을 통한 학생들의 이차함수 개념의 형성과정에 관한 사례 연구

Abstract

본 연구의 목적은 이차 함수의 개념 지도 시 학생들에게 효율적으로 함수 개념을 형성하도록 지도하기 위하여 Freudenthal의 수학화 학습지도론에 따른 함수 개념 지도 방법을 구성하고 실제로 적용하여, 사례연구 과정에서 나타나는 학습의 특징을 분석하는데 있다. 이러한 연구 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. (1) 수학화 과정을 통한 9단계 함수 수업에서 이차함수의 개념 형성에 있어 학생들의 각 차시 특성은 어떠한가? (2) 수학화 과정을 통하여 이차 함수를 지도했을 때, 학생들은 함수 개념 형성시 표상들의 관계에 대하여 어떠한 사고 과정을 거치는가? 본 연구를 수행하기 위하여 경기도 안산시에 소재한 S중학교 3학년 1개 반의 학생들 중 학생의 지원과 비디오카메라를 이용하여 접근하기 쉬운 위치를 고려해 교실 중앙 쪽에 위치한 조의 학생 3명을 임의로 선정하였다. 연구방법은 기존의 함수개념을 알아보기 위한 사전 검사와 1차시부터 10차시의 본 수업 그리고 마지막 형성평가를 실시하였으며 수업과정을 비디오 녹화, 대상 학생들과의 인터뷰, 수업 과정을 녹화한 비디오 전사 자료를 수집하고 이 문서 자료를 가지고 수학화 수업 과정에서 나타나는 특징을 분석 하였다. 이 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 사전 검사시 학생들의 함수개념 수준은 구체적인 표상을 통하여 함수를 판단하는 직관적인 수준이었으나 수평적 수학화 과정을 통해 이차식의 의미와 이차식을 유도해 낼 수 있었으며 실제 상황에 대한 함수의 인지도가 향상될 수 있었다. 그리고 교사의 안내에 의해 수평적 수학화의 결과 얻은 이차 함수의 결과물들을 다시 한 번 종합하고 비교하여 보다 세련되게 조직해 나가는 개념 형성과정을 경험 하였고 응용적 수학화의 과정을 통해 창조된 개념을 새로운 문제에 적용함으로써 학생들 스스로 이차 함수의 문제를 해결하였으나 한편으로는 복잡한 사고를 요하는 문제에 대해서는 수학화 과정이 잘 이루어 지지 않기도 했다. 둘째, 본 수학화 과정의 수업에 들어가기 전에는 함수의 표상사이의 관계를 체계적으로 연결하여 함수에서 표상사이의 연결성의 중요함을 깨닫고 사고하기에는 아직 부족한 수준이었으나 수평적 수학화 과정을 거치며 함수의 관계를 발견하는 심상을 갖기 시작하였고, 반복된 식과 표와 그래프의 학습을 통하여 이들 표상사이의 연관성을 자연스럽게 내면화시켰다. 상황에 따라 어느 표상이 더 유용하게 사용 될 수 있는지에 대해서도 스스로 터득하였으며 두 개의 표상을 동시에 사고할 수 있다는 능력을 보여주기도 하였다. 사후 검사를 통해 사전 검사와 비교하여 학생들의 이차 함수의 표상적 사고에 대하여 성장한 측면을 객관적인 판단을 할 수 있었다.