고등학교 1학년 학생을 대상으로 한 함수 문항의 오류 분석

Abstract

본 연구는 이차함수의 그래프의 영역에서 학생들이 저지르는 오류의 내용상 특징을 분석하는 것이다. 이러한 내용을 바탕으로 오류의 원인과 그의 특징에 따른 간단한 개선책을 나열함으로써 현장에서 함수단원을 지도하기 전에 참고 자료로 활용할 시 학생들의 오류를 최대한 줄이는데 도움이 되리라 본다. 1) 축의 방정식을 이용한 그래프의 대칭성을 활용하지 못하는 경우가 많다. 2) 모든 이차함수의 그래프는 이차항의 계수가 같을 때 그래프의 모양이 같다. 즉. ‘ 평행 이동 된 것이다.’ 라는 성질을 잘 이용하지 못하는 경우가 많다. 3) 이차함수의 표준형인 y=a(x-p)²+q 의 꼭지점 (p.q) 를 구하는 문제에 익숙한 나머지 , 형태의 식에서는 인 경우임을 알지 못하고 억지로 값을 구하려고 하는 경우가 많았다. 4) 이차함수의 일반형인 은 이차함수의 표준형인 와 같다 는 사실을 잘 모르는 경우가 있다. 또, 이차함수 또는 포물선의 식을 구할 때 꼭지점을 알 수 있을 때, 에서 구하고, 그래프가 지나는 세 점을 알 수 있을 때는 에서 구한다는 사실을 잘 모르는 경우가 많다. 5) 완전 제곱으로 변형할 때, 또는 그래프가 지나는 점의 좌표를 대입할 때 계산상의 오류가 많다. 6) 이차함수에서 이차항의 계수가 그래프의 모양을 결정한다는 성질을 이해하는데 부족하다. 또한 이차항의 계수를 일차 함수의 기울기와 혼동 하는 경우가 많다. 7) 축의 방정식 에서 대칭성과 그 가 꼭지점의 좌표가 된다는 사실을 잘 모르는 경우가 많다. 8) 평행이동에 대한 성질을 잘 이해 못하는 경우가 많으며 특히, 축에 대해 평행 이동한 그래프의 식을 구할 때 부호의 오류가 많다. 9) 좌표 평면상의 그래프를 이해하거나 좌표를 읽는 능력이 부족하다. 10) 좌표의 값을 식에 대입하거나 완전 제곱식으로 바꿀 때 괄호처리와 계산상의 오류가 많다.

위의 이차함수의 그래프에 대한 오류의 특징에 따른 개선책으로는 다음과 같다. 1) 모든 이차함수의 그래프는 이차함수의 표준형 꼴로 고쳐 그래프를 그릴 수 있게 하고 이차항의 계수와 축, 꼭지점에 대한 성질을 알 수 있게 한다. 2) 이차함수의 일반형 과 표준형 과의 관계를 예를 들어 설명함으로써 알 수 있게 한다. 3) 이차항의 계수가 같은 모든 이차함수는 평행이동 된 것이며 평행이동 된 그래프와 비교하게 함으로써 축으로 , 축으로 만큼 평행이동 시킨 함수의 식은 로 대입하여 정리한다는 것을 알게 한다. 4) 값이 중가할 때, 값의 변화는 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 그래프의 모양을 관찰하게 한다. 5) 방정식과 함수에서 완전제곱꼴로 고치는 방법의 차이점을 알게 하고, 특히 함수에서 완전제곱꼴로 고칠 때는 이차항의 계수로 일차항까지 묶고 괄호 안에서 완전제곱이 되는 상수를 더하고 뺀 다음 정리한다. 또, 값을 대입하여 거듭제곱을 계산할 때에는 괄호를 치게 하고, 지수를 가장 먼저 계산할 수 있게 한다. 6) 모든 이차함수 즉, 포물선은 이차항의 계수와 꼭지점을 알 때 구하여 지며, 그것으로 구성됨을 알게 한다. 7) 컴퓨터를 이용하여 이차함수의 그래프를 그려봄으로써 이차항의 계수와 대칭축, 꼭지점에 대한 성질을 알 게 한다. 본 연구는 이차함수의 그래프의 영역에서 학생들이 저지르는 오류의 내용상 특징을 분석하는 것이다. 이러한 내용을 바탕으로 오류의 원인과 그의 특징에 따른 간단한 개선책을 나열함으로써 현장에서 함수단원을 지도하기 전에 참고 자료로 활용할 시 학생들의 오류를 최대한 줄이는데 도움이 되리라 본다. 1) 축의 방정식을 이용한 그래프의 대칭성을 활용하지 못하는 경우가 많다. 2) 모든 이차함수의 그래프는 이차항의 계수가 같을 때 그래프의 모양이 같다. 즉. ‘ 평행 이동 된 것이다.’ 라는 성질을 잘 이용하지 못하는 경우가 많다. 3) 이차함수의 표준형인 의 꼭지점 를 구하는 문제에 익숙한 나머지 , 형태의 식에서는 인 경우임을 알지 못하고 억지로 값을 구하려고 하는 경우가 많았다. 4) 이차함수의 일반형인 은 이차함수의 표준형인 와 같다 는 사실을 잘 모르는 경우가 있다. 또, 이차함수 또는 포물선의 식을 구할 때 꼭지점을 알 수 있을 때, 에서 구하고, 그래프가 지나는 세 점을 알 수 있을 때는 에서 구한다는 사실을 잘 모르는 경우가 많다. 5) 완전 제곱으로 변형할 때, 또는 그래프가 지나는 점의 좌표를 대입할 때 계산상의 오류가 많다. 6) 이차함수에서 이차항의 계수가 그래프의 모양을 결정한다는 성질을 이해하는데 부족하다. 또한 이차항의 계수를 일차 함수의 기울기와 혼동 하는 경우가 많다. 7) 축의 방정식 에서 대칭성과 그 가 꼭지점의 좌표가 된다는 사실을 잘 모르는 경우가 많다. 8) 평행이동에 대한 성질을 잘 이해 못하는 경우가 많으며 특히, 축에 대해 평행 이동한 그래프의 식을 구할 때 부호의 오류가 많다. 9) 좌표 평면상의 그래프를 이해하거나 좌표를 읽는 능력이 부족하다. 10) 좌표의 값을 식에 대입하거나 완전 제곱식으로 바꿀 때 괄호처리와 계산상의 오류가 많다.

위의 이차함수의 그래프에 대한 오류의 특징에 따른 개선책으로는 다음과 같다. 1) 모든 이차함수의 그래프는 이차함수의 표준형 꼴로 고쳐 그래프를 그릴 수 있게 하고 이차항의 계수와 축, 꼭지점에 대한 성질을 알 수 있게 한다. 2) 이차함수의 일반형 과 표준형 과의 관계를 예를 들어 설명함으로써 알 수 있게 한다. 3) 이차항의 계수가 같은 모든 이차함수는 평행이동 된 것이며 평행이동 된 그래프와 비교하게 함으로써 축으로 , 축으로 만큼 평행이동 시킨 함수의 식은 로 대입하여 정리한다는 것을 알게 한다. 4) 값이 중가할 때, 값의 변화는 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 그래프의 모양을 관찰하게 한다. 5) 방정식과 함수에서 완전제곱꼴로 고치는 방법의 차이점을 알게 하고, 특히 함수에서 완전제곱꼴로 고칠 때는 이차항의 계수로 일차항까지 묶고 괄호 안에서 완전제곱이 되는 상수를 더하고 뺀 다음 정리한다. 또, 값을 대입하여 거듭제곱을 계산할 때에는 괄호를 치게 하고, 지수를 가장 먼저 계산할 수 있게 한다. 6) 모든 이차함수 즉, 포물선은 이차항의 계수와 꼭지점을 알 때 구하여 지며, 그것으로 구성됨을 알게 한다. 7) 컴퓨터를 이용하여 이차함수의 그래프를 그려봄으로써 이차항의 계수와 대칭축, 꼭지점에 대한 성질을 알 게 한다.