반례 활용에 관한 고등학교 명제 단원에서 교수 학습 자료 개발 연구

Abstract

수학의 정리나 성질은 거의 대부분 명제형태로 구성되어 있다. 명제를 탐색하여 참, 거짓을 판별하고 참인 명제의 정당화와 반례에 의한 반박하는 활동은 수학교육에서 강조하고 있는 학생들의 논리적 추론 능력을 향상시킨다. 또한 학교 수학에서 반례 활용은 반례를 찾는 과정을 통해 기존의 수학적 지식을 통합하고 개념 학습에 도움을 주며 비판적 사고력을 신장시킬 수 있음이 선행연구를 통해 밝혀진 바 있다. 하지만 많은 연구에서 학습자들이 거짓명제에 대한 반례 생성에 어려움이 있음을 말하고 학교 현장에서 적용할 수 있는 반례 활용을 위한 자료 개발은 많이 되어 있지 않다. 이에 본 연구에서는 현 교과서를 분석하여 반례 활용을 살펴보고 학교 현장에서 적용할 수 있는 반례 활용 교육을 위한 자료를 개발하여 학생들을 수준별 세 그룹으로 나누어 반례 활용 수업 실시 후 학생들의 변화를 살펴보았다. 거짓명제 만들기와 참인명제 만들기로 구성하여 자료를 개발하였고 수업은 학업성취수준에 따라 세 그룹의 나누어 실시하였다. 연구 결과 세 그룹 모두 인지적 영역과 정의적 영역의 긍정적 변화를 볼 수 있었다. 특히, 세 그룹 중 최상위 그룹에서는 인지적 영역에 있어서, 중상위 그룹에서는 인지 및 정의적 영역에 있어서, 하위그룹에서는 정의적 영역의 긍정적 변화가 두드러짐을 알 수 있었다. 상위그룹에서는 수학적 개념 학습뿐만 아니라 조건을 인식하고 가정과 결론의 조건의 변화를 주는 과정에서 다른 수학적 개념, 융합하는 연결성, 생각의 범위가 넓어지는 것을 볼 수 있었다. 또한 단순한 반례를 제시하는 것을 떠나 다양한 반례 탐색을 통해 그 명제의 오류가 무엇이고 반례를 일반화 시키는 것까지 사고하게 되었음을 확인하였을 뿐만 아니라, 여러 가지 반례들을 탐구하여 그 반례들을 제거하고 수용하는 과정에서 많은 수학적 개념의 엄밀한 정의와 그에 따른 정리까지 생각하는 것을 볼 수 있었다. 중상위 그룹과 하위그룹은 수학적 개념의 이해와 기호 및 수의 범위에 대한 깊은 사고가 명제를 이해하는데 도움이 되었음을 볼 수 있었다. 정의적 영역에서는 하위그룹에서의 변화에 주목 할 수 있었다. 명제는 어렵다는 생각을 없애주는데 도움이 되었고 인지적 영역의 변화가 명제의 흥미를 높이고 자신감에 변화를 주는 정의적 영역에도 영향을 주었음을 알 수 있었다. 본 연구에서 보듯이 반례 활용 교육으로 거짓명제 만들기와 참인 명제 만들기 활동을 하는 수업은 학습자의 학업성취수준에 관계없이 주어지는 명제를 이해하고 간과하기 쉬운 조건들에 주목하고 기호 표시들을 주의 깊게 살피게 하였으며 개념 학습에 도움을 주는 인지적 영역의 변화를 볼 수 있었다. 더불어 명제에 대한 흥미를 높이고 자신감을 얻게 되는 정의적 영역에도 긍정적 영향을 주는 것을 확인할 수 있었다. 주요어: 반례, 반례의 활용, 반례의 탐색, 거짓명제 만들기, 참인명제 만들기